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岳麓書院藏秦簡中的《數》
——匯集各種實用算法的最早數學著作
作者：李洪財（湖南大學岳麓書院副教授）
2007年湖南大學岳麓書院從香港收購一批秦簡，這批材料從鑒定、入藏、整理到逐漸公布完畢，到現在已經過去15年。在這十幾年里，學界通過這批材料在古代法律、政治、經濟等許多領域都取得了豐碩的成果，而且很多成果具有開創性，足見這批材料的重要作用。這批材料內容非常豐富，有秦代的歷譜、官箴、占夢、數學、法律等文獻。其中律令內容占比最大，關注度也最高，實際上其他內容的價值絕不亞于律令，其中《數》的關注度就與這部文獻的重要程度極不匹配。
岳麓秦簡《數》編聯復原圖。資料圖片
《周禮·地官·大司徒》：“三曰六藝：禮、樂、射、御、書、數。”鄭玄注：“數，九數之計。”“九數”見于《周禮·地官·保氏》：“養國子以道，乃教之六藝：一曰五禮、二曰六樂、三曰五射、四曰五御、五曰六書、六曰九數。”鄭玄注引鄭眾云：“九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要。”可知“數”所包含內容覆蓋了中國古代政府管理和運作的方方面面。“數”作為六藝之一是中國古代為官的基本技能，也可以說是官方教育體系中的基礎必修課。所以數學在中國古代有著重要的地位。過去研究中國早期的數學，主要是靠《九章算術》和《周髀算經》。這兩部書是傳世文獻中最早的數學著作，產生時間一般認為是西漢中后期。岳麓秦簡《數》的斷代最晚不會晚過秦始皇三十五年（公元前212年），從時代說要比《九章算術》和《周髀算經》早一兩百年。通過《九章算術》和《周髀算經》這兩部書，可知西漢中后期的數學成就已經很高了。現在根據《數》的研究成果可知，這兩部書的很多內容可直接追溯到秦代，也足以說明秦代的數學水平。可以說，《數》刷新了我們對中國早期數學水平的認識，而且對《九章算術》和《周髀算經》兩書的形成以及其中一些算題的最終解析方法提供了關鍵的材料。
《數》簡冊背面自署標題，此“數”也恰可與上揭《周禮》及古注中的“九數”對讀理解。《數》全卷共有236個編號，另有18枚殘片，共有81例算題，還有19例是單獨記錄計算方法的簡文，內容大致涉及《九章算術》中的方田（求方形田地面積）、粟米（求不同米的等價換算）、衰分（比例分配法）、少廣（截少從多法）、商功（求體積法）、盈不足（求適中之法）、勾股等諸章的部分內容。其中的勾股算題是目前我國勾股定理的最早文獻記載。所謂“勾股”是指直角三角形中短直角邊為“勾”，長直角邊為“股”，第三條斜邊是“弦”。《周髀算經》中記載周朝的商高提出“勾三股四弦五”理論，也就是我們今天所說的勾股定理。《數》中勾股算題簡文說：“□有園材埋地，不知小大，斲之，入材一寸而得平一尺，問材周大幾何。即曰：半平得五寸，令相乘也，以深（213/0304）一寸為法，如法得一寸，又以深益之，即材徑也。（214/0457）”傳世文獻《九章算術》“勾股”章第九題記述是：“今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺。問徑幾何。答曰：材徑二尺六寸。術曰：半鋸道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材徑。”兩者對比即可知雖然文字措辭有別，但兩者主要內容和描述方式基本一致。如果把《數》翻譯作今天的話，簡文的意思是說，有一個圓形木材埋于地下，不知道大小。從上面砍去一寸，砍削之后的切面長為一尺(10寸)，問木材直徑是多少。算法：橫切面的一半為5寸，再乘以半平(5寸)，用深的數值1做除數，相除，單位為寸，再加上深的數值1寸，就是木材直徑。簡文的算法用今天的數學式表示是：5寸×5寸/1寸+1寸=26寸。這只是給出的一個范例算法，并不知道其中的原理。《九章算術》劉徽解釋說：“此術以鋸道一尺為勾，材徑為弦，鋸深一寸為股弦差之一半，鋸（道）長是半也”，“亦以半增之，如上術，本當半之，今此皆同半差，不復半也”。如果結合劉徽的解釋與勾股定理對應來說，砍削之后的切面長，也就是《九章算術》中所說的“鋸道”長度是“勾”；木材直徑與2倍砍削深度之差是“股”，所求木材直徑是“弦”。如果將勾設a、股b、弦c，勾股定理的基本公式是：a2+b2=c2。已知a=10，b=c-2×1，按照勾股定理所得算式就是：102+（c-2×1）2=c2。最后計算得出c等于26寸。（詳參肖燦：《岳麓書院藏秦簡〈數〉研究》，中國社會科學出版社2015年，第136頁）也就是說《九章算術》的勾股算法現在可以直接溯源到岳麓秦簡《數》，同時說明先秦很早就已經發現和運用了勾股定理，其源頭應該比《數》的下限年代更早。
《數》是一部匯集當時實用計算法式的數學文獻抄本，它是目前所見最早的匯集各類實用算法的數學著作。也正因為他源自經濟、法律、軍事等行業的應用實例，使得這批材料不僅具有數學研究價值，其對古代社會的研究價值也不可小覷。以其中所記載的“營軍之術（筑營布陣之術）”（69/0883、70/1836+0800）為例，其簡文翻譯后意思是說：“構筑營壘，布置軍陣之術，首先從全體士卒數去除守衛兩門的各1200人，再去除剩余人數的半數。然后除以10。如果每3步置一戟卒的話，就將其卒數擴大3倍；每4步置一戟卒的話，就將其卒數擴大4倍；每5步置一戟卒的話，就將其卒數擴大5倍。假如軍隊士卒總人數為1萬人。問哨位可延及多少里？答案為：3里240步，這是3步置一卒值守的情況。”從簡文可以看出，算題是考慮到士卒人數、執戟卒的距離在不同規模的軍營布置中存在變化，而且不是所有的士卒都要到周邊站崗，所以計算軍陣營壘大小時，還考慮了實際站崗人數與總人數的比例。如果沒有實踐，這些變量因素很難在算題中得到周全體現。所以這道算題應該就是從布置軍營的實踐中得出的算式，當時在軍中可能有專職或兼職官員負責“營軍（筑營布陣）”事務，“營軍之術”算題主要是提供給這些人學習用的。（肖燦：《岳麓書院藏秦簡〈數〉研究》，中國社會科學出版社2015年，第61頁）這也是我們通過《數》對古代社會的一個新認識。當然這類人是否真實存在，究竟屬于何官何職，這都需要更多材料進一步佐證。其實《數》中還有很多這類史實，既然《數》的算題來源于實際生活的實例，相信《數》中還有很多這類“新知”有待挖掘，我們也期待更多領域能夠通過不同視角關注《數》，關注岳麓書院藏秦簡。
《光明日報》（ 2023年06月17日?11版）
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